四元数与欧拉角个人理解

lologame · 发表于 2013-5-27 14:37:13

发这个帖子，主要是来源与之前思考的两个问题：
1.不同的欧拉角旋转顺序，为什么四元数更新方程都一样，但是得到的欧拉角仅仅只是更改欧拉角输出方程。
2.不同的欧拉角旋转顺序，四元数更新方程一样，为什么初始化方程却不一样，它们之间有什么联系。

以下是我这段时间对这两个问题的解释，我不能保证是对的，如果是错的，希望高人指出。
以免小生一错再错。

已知一个刚体V，通过旋转到V’。
V--->V’用旋转方式1进行旋转，得到roll1、pitch1、yaw1三个欧拉角。
V--->V’用旋转方式2进行旋转，得到roll2、pitch2、yaw2三个欧拉角。
我们知道，已知欧拉角后，可以得到方向余弦矩阵。
两种旋转方式，得到方向余弦矩阵C1与C2.
得到矩阵后，已知V的向量坐标，可以得到V’的向量坐标

V’ = C1*V;

V’ = C2*V;

由以上可知，C1 = C2，也就是说，V--->V’，不管是以何种旋转方式旋转，所得到的方向余弦矩阵都是相同的。也就是，让V--->V’，两种不同的旋转方式下的 roll,pitch,yaw，没有必然联系。

换一句话说，用同样的欧拉角进行两种不同的旋转顺序将刚体V进行旋转，得到刚体向量V1 与 V2，V1与V2之间没有必然的联系。

其实也不难想象，同样的欧拉角，以不同的旋转顺序旋转，得到的刚体姿态之间没有什么联系。（基本不一样，可能会有巧合一样）
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[q0 q1 q2 q3]
刚体四元数，表征了刚体的旋转信息。

我们已知一个V--->V’的旋转：
旋转轴向量[L M N]
绕旋转轴的旋转角度a
得到一个四元数:
[q0 q1 q2 q3]
=
[cos(a/2) L*sin(a/2) M*sin(a/2) N*sin(a/2)]

已知q0、q1、q2、q3得到一个坐标变换矩阵C3.
V’ = C3*V
其中C3 = C2 = C1

这样我求出四元数，就可以得到刚体的旋转信息。
不同的旋转方式，只要是V---V’，旋转信息就是一样的，我们通过四元数得到的变换矩阵C，都是一样的，但是由于旋转方式不同，所以求得的欧拉角套用的方程不一样，得出的欧拉角也不一样。
根据之前的设想，不同旋转方式下的欧拉角之间，本来就没有什么联系。
所以我们程序和书里面，欧拉角更新方程，不管是以什么方式旋转都是相同的。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

那为什么四元数的初始化会不一样呢？
假设四元数初始化用同意的代码，V--->V’，旋转顺序不一样，旋转顺序不一样，得到的欧拉角会不一样、欧拉角不一样，用同意的公式进行四元数初始化，就会得到不同的四元数。但都是V--->V’，只是旋转方式不一样，旋转信息都是一样的，四元数应该是一样的这一条件想矛盾。

以上只是小生对近日的总结，是一种复习，也希望对其他同仁有所帮助，更希望大神可以对我理解有误的地方委婉拍砖。

zouyf12 · 发表于 2013-5-27 18:11:18

对于第一个问题，我的理解是，四元数其实就是轴-角表达式演变过来的，所谓轴-角表达式，就是任何姿态的物体，都可以表示为绕一根过地理坐标系原点的轴旋转一定的角度，那这样看来，对于一个姿态来说就只存在一根轴和一个角度，所以四元数与姿态是一一对应的。而由于欧拉角的定义的缘故，所以在变回欧拉角时，公式上就会有不一样。

lologame · 发表于 2013-5-27 18:33:14

zouyf12 发表于 2013-5-27 18:11
对于第一个问题，我的理解是，四元数其实就是轴-角表达式演变过来的，所谓轴-角表达式，就是任何 ...

我也是这么理解的。

对于同一个姿态，欧拉角旋转顺序不一样，那么对应的欧拉角之间并没有什么联系、

kmani · 发表于 2013-5-27 18:38:29

我研究过工业机器人关节旋转问题，跟你这个很像。
得出的结论是：不管旋转轴线是否交于一点，不管旋转顺序如何，最终得到的姿态是一样的。
我理论计算过，计算机仿真也验证了我的结论。

lologame · 发表于 2013-5-27 18:51:33

kmani 发表于 2013-5-27 18:38
我研究过工业机器人关节旋转问题，跟你这个很像。
得出的结论是：不管旋转轴线是否交于一点，不管旋转顺序 ...

旋转顺序不管如何得到的姿态相同。
是指的欧拉角不同的时候吧？

kmani · 发表于 2013-5-27 18:59:43

lologame 发表于 2013-5-27 18:51
旋转顺序不管如何得到的姿态相同。
是指的欧拉角不同的时候吧？

我指的是每个关节不管哪个先转后转，只要相对转的角度一样，结果就一样。

WUST_LJS · 发表于 2013-5-27 23:16:03

牛！！顶！！

sgzzour · 发表于 2013-5-28 00:03:16

貌似不错的说。，大多数人都是直接复制代码，调通了就发视频庆贺，很少有人静下心思考这些原理性的问题。赞一个

lologame · 发表于 2013-5-28 08:48:40

sgzzour 发表于 2013-5-28 00:03
貌似不错的说。，大多数人都是直接复制代码，调通了就发视频庆贺，很少有人静下心思考这些原理性的问题。赞 ...

嗯，现在感觉单纯用别人的东西感觉意思不大了，我想在惯导领域有所发展，就要有理论基础、、

感觉这东西技术含量颇高.....

虽然现在还有一些疑惑的地方，但我还是会尽力解决、、

woshisangao · 发表于 2013-5-28 11:28:40

好深奥啊。关注中。。。

sgzzour · 发表于 2013-5-28 13:28:05

lologame 发表于 2013-5-28 08:48
嗯，现在感觉单纯用别人的东西感觉意思不大了，我想在惯导领域有所发展，就要有理论基础、、

感觉这东西 ...

好样的，支持你，榜样。

tinymilk · 发表于 2013-8-14 08:48:54

LZ
四元数可以根据起始位置不断更新姿态，然后转化为欧拉角，而实际上如果转化不同顺序的欧拉角，则欧拉角值不相同，但是按不同顺序不同的值转动结果相同。

如果我们直接用角速度传感器对角度积分可以直接得到欧拉角，但是欧拉角的转动顺序不同就会导致结果不同，但是陀螺仪的积分值却是相同的，也就是说这个轴仍然转动了这么个角度，只是欧拉
旋转方向顺序不同，所以，所有的欧拉旋转顺序如果可以任意调用的话，就可以避免gimbal lock，但是实际是不可能的，所以就引入了四元数来解决，所以四元数根据陀螺仪的积分无论旋转顺序，都是一个值

想飞的四轴 · 发表于 2013-8-17 20:57:33

都是牛人　顶了

小汪88 · 发表于 2013-8-21 11:35:54

我也在努力学习理论

lologame · 发表于 2013-8-24 14:26:08

tinymilk 发表于 2013-8-14 08:48
LZ
四元数可以根据起始位置不断更新姿态，然后转化为欧拉角，而实际上如果转化不同顺序的欧拉角，则欧拉角 ...

意思是，不同的旋转顺序，相同的欧拉角，仍然是相同的位置吗？

lologame · 发表于 2013-8-24 16:59:57

这几日又用到惯导，我重新想象了下

欧拉角数值相等，就算是以不同的旋转顺序旋转，仍然会得到相同的姿态！

但是还不知道为啥，还没用从数学上去理解。

不同的旋转顺序，但是有相同的姿态变换矩阵C。
而得到不同旋转顺序的欧拉角时，使用的的矩阵中的系数不一样，然而得到的角度却是一样的？？

lologame · 发表于 2013-8-24 20:21:19

晕死了，以前没有搞错，

相同的姿态，不同的旋转方向，得到的欧拉角，是不一样的！

qinshiysb · 发表于 2013-8-24 22:49:47

好深奥啊，没有深究，只是复制了代码。

linhui102 · 发表于 2013-8-31 21:35:24

真心晕了。。。楼主有研究精神很想认识你

wenziheni · 发表于 2013-11-6 18:57:40

至今未懂。。

my_ve · 发表于 2013-11-11 17:54:46

其实四元数根本不关心坐标系是怎么旋转的，它只关心起始坐标系和目标坐标系，只要这两个确定了四元数的旋转轴和旋转角就确定了，而目标坐标系到底在哪里才是由欧拉角大小和旋转顺序决定的，所以两者的关系只是用一个变换矩阵联系起来，其实没什么太大联系。

kdaiee · 发表于 2013-11-11 18:15:18

看公式没看懂，哎

gunsir · 发表于 2014-3-5 13:26:06

kmani 发表于 2013-5-27 18:59
我指的是每个关节不管哪个先转后转，只要相对转的角度一样，结果就一样。 ...

额，你这个是多刚体运动，相互之间有约束，只要运动学上没有达到奇异点，必然是一一对应的~~这里说的是单刚体的转动，不太一样哦~~

s15200380596 · 发表于 2014-3-8 15:13:45

mark学习中

hawkyao · 发表于 2014-3-11 14:37:32

lologame 发表于 2013-8-24 16:59
这几日又用到惯导，我重新想象了下

欧拉角数值相等，就算是以不同的旋转顺序旋转，仍然会得到相同的姿态！ ...

不同的旋转次序，得到的每个（三次旋转对应三个旋转矩阵）旋转矩阵中的角度是不一样的。比如若按照XYZ旋转，第一次旋转X轴得到的γ角度，和按照ZYX第三次旋转X轴得到的γ角度是不一样的，但是他们三次旋转矩阵的乘积是一样的。

香樟树 · 发表于 2014-7-20 20:12:56

学习了

zhan278047442 · 发表于 2014-7-20 21:11:51

学习一下

yat · 发表于 2014-7-25 13:53:13

mark 四元数与欧拉角个人理解

huang_4115 · 发表于 2014-9-6 10:40:27

楼主两次否定了自己的看法,,,,,,不过还是学习了,顶12楼

zjzly · 发表于 2014-11-7 20:01:40

你好，我想问一下9150内置DMP出来的四元数可否用来将加速度从机体坐标系转到地理坐标系？

wyudcl · 发表于 2015-9-8 18:55:24

标记，谢谢楼主分享，不懂呢，还得看呢。

小憨不傻 · 发表于 2015-9-8 19:51:54

小憨不傻 · 发表于 2015-9-8 20:57:20

一看帖子已经是2013年的帖子了，好久了，大概LZ现在应该明白了吧！
我就随便说说自己的看法吧！
第一点，表示姿态的方式大概有这个四种，欧拉角、四元数、方向余弦矩阵DCM、旋转矢量！
这里面最直观、最易理解的就是欧拉角了，欧拉角也是控制中常用的姿态表示方式。
对于欧拉角来说XYZ三个轴的旋转顺序是非常重要的！因为不同的旋转顺序会得到不一样的DCM，这就说可以用欧拉角来表示DCM，这也就是不同描述方式下姿态的互相转化了。
欧拉角能够表示DCM，同样的四元式肯定也是可以表示出DCM，将物体的姿态比喻成一个人的话，这四种姿态描述方式，不过是这个人身上所穿的不同衣服而已，他还是他。
因此欧拉角和四元数之间的关系就可以通过DCM互相转化了。
因此这里不同的DCM表达方式，联系欧拉角与四元数之前的桥梁就不一样了！
因此在姿态解算过程中，如果没有严格按照某一旋转顺序，四元数转化到欧拉角肯定是错误。
本人亲历姿态解算定义欧拉角旋转顺序的重要性，目前所有开源飞控欧拉角旋转顺序都是Z->Y->X，也称为航空顺序角。
因此，LZ所说的不同的旋转顺序，对应结果没有区别，是不靠谱的。估计楼主没自己写过姿态解算的算法。

ronnie0701 · 发表于 2015-11-18 17:45:09

小憨不傻发表于 2015-9-8 20:57
一看帖子已经是2013年的帖子了，好久了，大概LZ现在应该明白了吧！
我就随便说说自己的看法吧！
第一点，表 ...

想问一下，如何将四元数表示的姿态矩阵和不同顺序的方向余弦矩阵对应起来？四元数姿态矩形式是固定的啊那么求解欧拉角的时候，旋转顺序不同，方向余弦表达式也不同，用到的元素就不一样，这一点一直没搞明白。。。

1041625507 · 发表于 2016-1-14 21:10:25

感谢楼主分享

jamesdeep · 发表于 2016-3-3 01:41:52

不错的讨论

Suna · 发表于 2016-3-3 03:36:52

MARK

Huyaoyou · 发表于 2016-3-6 09:09:59

MARK,谢谢楼主，，，，，，，，，，，，，，，，，

cchwhk · 发表于 2016-3-7 15:08:25

小憨不傻发表于 2015-9-8 20:57
一看帖子已经是2013年的帖子了，好久了，大概LZ现在应该明白了吧！
我就随便说说自己的看法吧！
第一点，表 ...

我最近也在看这方面的东西，想请问一下您这里谈到的航空顺序角是不是指先绕Z轴旋转ψ，再绕X轴旋转θ，再绕Y轴旋转γ
ψ是航向角，θ是俯仰角，γ是横滚角

小憨不傻 · 发表于 2016-3-7 18:00:21

cchwhk 发表于 2016-3-7 15:08
我最近也在看这方面的东西，想请问一下您这里谈到的航空顺序角是不是指先绕Z轴旋转ψ，再绕X轴旋转θ，再 ...

旋转顺序是Z->Y->X

cchwhk · 发表于 2016-3-8 09:53:02

小憨不傻发表于 2016-3-7 18:00
旋转顺序是Z->Y->X

对对，是Z-Y-X

liupanliang · 发表于 2016-3-8 17:11:25

mark

Crazy_snail · 发表于 2016-8-17 15:57:28

厉害，顶一下

liub007 · 发表于 2016-8-17 20:59:05

不明觉厉，学习了。

shenfeipascal · 发表于 2016-8-17 22:12:05

学习了，谢谢楼主~

四元数与欧拉角个人理解

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