看到一个大神讲解拉普拉斯变换的帖子，感觉通俗易懂

XIVN1987

作者：Studio TBsoft
链接：https://www.zhihu.com/question/279434099/answer/429756124

解释要让人听得懂，映射、空间、变换这样的数学术语，也许211、985的大神能听得懂，一般学校的本科生，可能在学电路原理和模拟电子之前，复变函数与积分变换都没学过，只会越听越糊涂。

简单的说，傅里叶变换也罢，拉普拉斯变换也罢，都是把一个信号分解成若干（实际上可以是无数）信号之和，或者说若干信号叠加的手段。

对于非周期性信号，只要是在时间轴上可积的信号，简单说（不严谨）就是横轴上方信号曲线所占的面积算正，横轴下方信号曲线所占的面积算负，把所有面积加起来不是无穷大，就算这个信号可积，例如单个或者有限个脉冲信号就是可积的，因为其所占面积加起来是有限的。对于周期性的信号，例如一定频率的交流或者脉冲信号，要求在一个周期内是可积的。那么这类信号，就可以用傅里叶变换分解为若干（无数）不同频率（也包括不同相位）正弦信号之和，或者说相当于不同频率正弦信号的叠加。

一般RLC电路（线性电路）处理正弦信号较为容易，因为对于稳定的正弦信号，电阻、感抗和容抗都是固定不变的，那么如果要处理非正弦周期性信号，只消用傅里叶变换把信号分解为正弦信号的叠加，然后按照正弦信号处理，最后把处理结果再重新叠加起来（傅里叶反变换）就行了。

线性电路对某一频率正弦信号，输出和输入的关系，叫做这个线性电路的频率响应。对于非正弦周期性信号，例如矩形波信号，甚至非周期性信号，可以使用傅里叶变换把信号分解为不同频率正弦信号的叠加，每个正弦信号可以看作非正弦信号的一个成分，对每个成分求对应频率下的频率响应，最后叠加起来，就成了非正弦信号的响应。

也就说是，傅里叶变换带来的好处，就是把很难处理计算的非正弦信号化为容易处理计算的正弦信号。

那么拉普拉斯变换呢？如果信号在时间轴上不可积，傅里叶变换就不能使用了，但拉普拉斯变换证明，这种信号虽然不能分解成正弦信号之和，但仍然有可能分解成幅度（峰值）按照时间增长，成指数规律增加的正弦信号之和，也就是若干（无数）不同频率的指数增幅正弦信号之和。例如单位阶跃信号在时间轴上不可积（所占面积无穷大），傅里叶变换不能用，但拉普拉斯变换却能用。

拉普拉斯（反）变换中的e^(st)，本质就是一种指数增幅（也包括负增幅，即衰减）正弦信号，因为s=σ+jω，根据欧拉公式，e^(st)=e^(σt+jωt)=(e^(σt))(cosωt+jsinωt)=(e^(σt))cosωt+j(e^(σt))sinωt，无论取其实部，还是取其虚部，都相当于指数增幅（e^(σt)随时间t增加而增长）正弦信号。

对于指数增幅正弦信号，线性系统也是容易处理的，因此拉普拉斯变换也可以把很难处理计算的某些信号（例如单位阶跃信号）化为容易处理计算的指数增幅正弦信号。

这就是为什么处理冲激响应、阶跃响应等，多用拉普拉斯变换处理的原因。

从上面的分析可以看出，傅里叶变换实际上可以看作拉普拉斯变换的特例（σ=0的情况），因此传递函数将s换成jω，也就是相当于σ=0，就成了频率响应函数。反过来说，传递函数就是“指数增幅（或者衰减）正弦信号”的“频率响应函数”，或者叫做“复频率响应函数”，“复频率”，也就是s，相当于“同时考虑频率和增幅（或者衰减）系数”。

说白了，傅里叶变换、拉普拉斯变换甚至小波变换等，其本质就是把“不容易处理的信号”变换成“容易处理的信号之叠加”，对于傅里叶变换，这个“容易处理的信号”是正弦信号；对于拉普拉斯变换，这个“容易处理的信号”是指数增幅正弦信号；对于小波变换，这个“容易处理的信号”就是某种特殊的小波信号，不同的小波信号种类，叫做不同的“小波基”。

上述分析是用电路举例，但用于自控也是一样的，因为二者都能化为相同的信号流图。电路和自控在很多内容上，数学内核是相同的，例如运放的“虚短”和自控系统中“负反馈使得余差减小直到趋向于0”的本质是完全相同的，想想看为什么？（提示，数学本质都是负反馈）

timom333

谢谢分享, 最近正在学习

peteryzm

毕业几年了还是没搞懂，一直就不太明白

gujiamao_love

一个频域一个复频域

peteryzm

刚看完，说的比较形象，值得一看

XIVN1987

peteryzm 发表于 2018-7-2 13:43
毕业几年了还是没搞懂，一直就不太明白

我也不懂，，尤其是计算更是不会算，，不过这位大神讲的很通俗、很容易看懂（看懂还是不会算，考试照样不及格 ）

ericdai

当年还搞得很懂，现在早不懂了

liu672992381

谢谢楼主分享。作者理解的透彻，描述的通俗易懂。

s1j2h3

谢谢楼主分享

WM_CH

gujiamao_love 发表于 2018-7-2 13:44
一个频域一个复频域

Master可以的

gujiamao_love

WM_CH 发表于 2018-7-2 16:42
Master可以的

lowbee 不敢

weichao4808335

当年还是懂得的，现在只知道这个名词了，包括那些判据都忘得一干二净了

hanshiruo

谢谢 分享

x9fish

说白了，傅里叶变换、拉普拉斯变换甚至小波变换等，其本质就是把“不容易处理的信号”变换成“容易处理的信号之叠加”，对于傅里叶变换，这个“容易处理的信号”是正弦信号；对于拉普拉斯变换，这个“容易处理的信号”是指数增幅正弦信号；对于小波变换，这个“容易处理的信号”就是某种特殊的小波信号，不同的小波信号种类，叫做不同的“小波基”。

xuhai777

解释很清晰易懂

carefree1986

傅里叶变换在高数里面就有，在普通本科学校，复变函数和线性代数不都是电气类的必修课？？信号处理和自控的基础就是拉氏变换

tsb0574

教师节没什么好送给老师的，就把这些读过的书送还给老师了

我是一个大白菜

谢谢楼主分享

822690a

谢谢分享，一直都没搞懂这些理论

dragonlands

还是太复杂了，傅立叶变换，最形象的解释就是大浪拍岸和抖绳现象。

sungngai

拉斯变换只是一个数学工具而已

wilderujs

一直很折服奥本海默信号与系统的经典，这是多少近代科技的基石和支柱，中国何时能有这样一部奠定科技发展基础的权威著作

liubinghui

              我看了好几个月了都没看懂。 呵呵。

EMOSYN

有个福建的同学喊这个叫“拉屎变饭”

TKZXJ

学习学习~

armku

说白了，傅里叶变换、拉普拉斯变换甚至小波变换等，其本质就是把“不容易处理的信号”变换成“容易处理的信号之叠加”，对于傅里叶变换，这个“容易处理的信号”是正弦信号；对于拉普拉斯变换，这个“容易处理的信号”是指数增幅正弦信号；对于小波变换，这个“容易处理的信号”就是某种特殊的小波信号，不同的小波信号种类，叫做不同的“小波基”。

万物互联

数学分析的基本方法就是把原来复杂的变简单后再分析，把不重要的做近似等价后再分析，总之就是变的容易分析

拉氏变换，就是把原来不能傅里叶变换做个衰减后可以做变换了，所以后者是前者的特例。

清水河街道办

电源的三座大山之一环路补偿就得看明白这些，在时域中用解微分方程的方法太复杂。

yueleilei

说的很好。