求助，1/(1+e(-x))的积分

Stm32Motor

各位大佬，小弟准备S曲线控制步进电机，速度曲线方程不b+k/(1+e(-x+a)/n))的，我想求速度曲线和积分得到位置曲线．在使用matlab和python求1/(1+e(-x))的积分，matlab的结果是ln(e(x)+1),python的结果是x+ln(e(-x)+1).想知道到底哪个正确，微积分忘记完了．

Stm32Motor

使用python的求y=b+k(1+e((-x+a)/n)）的在0到s之间的积分结果是-N*k*log(exp(A/N) + 1) + N*k*log(exp((A - x)/N) + 1) + x*(B + k)，对不？

t3486784401

这种时候需要积分表，MATLAB 的 symbolic 工具箱似乎还没到这种程度的智能

https://www.amobbs.com/thread-5758120-1-1.html

Stm32Motor

多谢。1424与我用python求出来的差一个符号。

Stm32Motor

1424中间是减号，我用python的是加号。

t3486784401

Stm32Motor 发表于 2023-9-16 19:33
1424中间是减号，我用python的是加号。
(引用自5楼)

注意积分项的系数也有正负，应该就是同一个

Stm32Motor

还真是，非常感谢。这个问题卡了我一天了。看来matlab也不靠谱哈

Stm32Motor

这样看来，python求的y= b+ k/(1+ e((-x+s)/n)的结果是对的

Stm32Motor

刚才手算了下，matlab与python计算1/(1+e(-x)))的积分，两个的结果是一样的，只是表达不一样．x+ln(1+e(-x))=ln(e(x)+1)
ln(e(x)+1)=ln(e(x).(1+e(-x)))=x+ln(1+e(-x))

Stm32Motor

请教下怎么上传图片，好分享下最新成果

Stm32Motor

t3486784401 发表于 2023-9-16 19:09
这种时候需要积分表，MATLAB 的 symbolic 工具箱似乎还没到这种程度的智能

https://www.amobbs.com/thread ...
(引用自3楼)

python的sympy可以算y=b+k/(1+e((-x+a)/n))的积分．
以下代码是计算y=b+k/(1+e((-x+a)/n))在区间[0,s]的积分
import numpy as np
from sympy import symbols,integrate,exp
x,A,k,B,N=symbols('x A k B N')
f=B+k/(1+exp((-x+A)/N))
#在0到x区间求积分
s=symbols('s')
result=integrate(f,(x,0,s))
结果是:-N*k*log(exp(A/N) + 1) + N*k*log(exp((A - s)/N) + 1) + s*(B + k).
用matlab积分出来的结果里面还有积分符号，不是我想用的方式．算数值积分的结果与python求的积分函数再计算出来的位置曲线是一样的．

Stm32Motor

哪位大佬能手工帮忙算下y=b+k/(1+e((-x+a)/n))的积分过程？

Stm32Motor

一般形式的S曲线公式推导
我是参考这里的文章，用来控制步进电机．

t3486784401

一般说来，正向计算积分的难度，远大于反向证明积分的正确性，故而才有了积分表一说。
可以不用像第一个人喝多了才能凑出结果，只要反向证明积分表正确，在逻辑上就和直接正向计算拥有同等严密性。

目测 symbolic 工具箱的底层，也是集成了最先进的积分表+推理逻辑，这样在结果可以用初等函数表达时，尽量不用多项式展开。

当然这个积分也是可以手动计算的，过程的复杂度，不见得能有多少启发性，甚至看起来更像证明过程被倒过来写。
以 1/(1+e^x) 为例，后续复杂的通过 x=py 换元就能得到：

Stm32Motor

两个图上片，一个是速度曲线，一个是加速度与加加速度曲线，加速度与加加速度都是连续变化的．

albert_w

lz这速度曲线是根据最大加速度积分来的？

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albert_w 发表于 2023-9-17 09:32
lz这速度曲线是根据最大加速度积分来的？
(引用自16楼)

是用函数y=1/(1+e(-x))通过平移与缩放变换出来的．y=b+k/(1+e((-x+a)/n))是速度曲线，调整Ｎ的值，可以调节平滑度，也就是最大加加速度，从曲线来看，我觉得比７段式的Ｓ加减速好一点．７段式Ｊ会突变．

Stm32Motor

上午用速度曲线与位置曲线结合起来就可以计算加速过程中定时的值．