因对平衡车感兴趣，最近在学算法，开个贴希望把高人请进来，用通俗的话让那些没有专业背景

designlife · 发表于 2011-6-1 09:03:57

关于卡尔曼滤波，找资料发现网上最通俗的解释是以下一段：

关于卡尔曼滤波的解释。正在看，大家看看。

1．什么是卡尔曼滤波器
（What is the Kalman Filter?）

在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！

卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载： http://www.cs.unc.edu/~welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。

简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导_弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。

2．卡尔曼滤波器的介绍
（Introduction to the Kalman Filter）

为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。

在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。

假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。

好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。

假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。

由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance来判断。因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。

现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。

就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg，就是卡尔曼增益（Kalman Gain）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！

下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。

3．卡尔曼滤波器算法
（The Kalman Filter Algorithm）

在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随即变量（Random Variable），高斯或正态分配（Gaussian Distribution）还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。

首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：
X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)
再加上系统的测量值：
Z(k)=H X(k)+V(k)
上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。

对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。

首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)
式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。

到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P表示covariance：
P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)
式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。

现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)
其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：
Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)

到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance：
P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)
其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。

卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 个基本公式。根据这5个公式，可以很容易的实现计算机的程序。

下面，我会用程序举一个实际运行的例子。。。
4．简单例子
（A Simple Example）

这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。所举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。

根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，我们见的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=1。没有控制量，所以U(k)=0。因此得出：
X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ……….. (6)
式子（2）可以改成：
P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)

因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) ……… (10)

现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度，我模拟了200个测量值，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）。

为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐的收敛。但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。我选了X(0|0)=1度，P(0|0)=10。

该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果（该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）。

designlife · 发表于 2011-6-1 09:19:51

假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。

由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance来判断。因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。

现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。

想请教高手：1、K+1时刻预测的不确定度还是4度吗？
         2、K+1时刻高斯噪声的偏差的计算公式是 2.35^2+4^2再开方吗？

_Daniel_ · 发表于 2011-6-1 21:08:21

这段内容我在百度贴吧上夜发过~~~~

laugh · 发表于 2011-7-15 09:17:27

回复【楼主位】designlife
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谢谢转发资料，受益了。
看来重要的是对系统模型的定性认知，简单来说就是考虑预测及误差以后和测量及其误差相拟合，并以拟合偏差做新的误差估计。不敢说说得对，仅暂时一家之见。

feng_matrix · 发表于 2011-7-15 14:40:38

角速度的积分实际就是角度信息，如果有对倾角的闭环控制，首先要保证倾角计算的合理性
不能直接用加速度计的倾角，他会被加减速时的线加速度干扰。
把角速度积分分离出来的，在采样周期里高速做积分，并与加速度倾角做数据融合，可用KALMAN滤波或者互补滤波算法。

简单的控制模型，注意这个图是相对于倾角控制的，Kp代表角度反馈量，Kd代表角速度反馈量，换成一般讲的角速度控制，就是PI控制
<br>

<br> (原文件名:未命名.JPG) 引用图片

简单的调试方法：
角速度反馈P量（就是上图中的角度Kd）的调整比较简单，手捏住轮子固定，然后推车身，正反向都有明显阻力即可，比开始振荡时稍微小点就行了
－－这个就相当于上图中的“阻尼器”。

然后P量设为0，调试角度反馈量（就是上图中的角度Kp），方法一样，保证车身在明显倾斜时能够缓慢反馈纠正即可。
－－这个就相当于上图中的“复位弹簧”。

－－你可以想象：
如果上图中只有“复位弹簧”没有“阻尼器”时，小车偏移后能归中，但过程会很长，有个收敛的摆动过程
如果上图中只有“阻尼器”没有“复位弹簧”时，小车对瞬时倾斜有很强的阻尼，但由于确少绝对参照永远不会归中
然后把两种反馈都加上，结合起来再调整下基本就OK了，一般的平衡车、四轴、航模直升机锁尾之类应用，基本都是这个PI算法。

关于角速度的微分量D，它实际控制的角加速度，不能照书本上片面的理解为“增加就可减小超调”
它的前提是输入信号必须“干净”，而且D量的反馈量要能被机械执行机构快速响应。

而在使用微机械惯性传感器作为输入的系统中，微机械传感器输出的高频噪声是非常大的
对于这种淹没在运动噪声中的信号求解加速度（D量）反馈，一般都是没效果，甚至是加速振荡的
要用好D量，首先要做好高低通滤波，找到系统的运动频谱，缩小通带，这个是最基础的，但最容易被忽视。

jyjmaster · 发表于 2011-7-17 11:25:21

mark==

kazenoai · 发表于 2011-7-17 11:39:20

看了，不是很理解，下次再看...

gwfree · 发表于 2011-7-17 12:23:39

mark
虽然是天书……

zhenji512 · 发表于 2011-7-17 16:53:28

感谢提供这样好的学习资料

pvcrobot · 发表于 2011-7-21 10:26:57

好好研究一下，谢谢分享！

sclsdhlr · 发表于 2011-7-24 10:48:54

谢谢楼主资料

jetimchen · 发表于 2011-7-28 03:55:42

MARK

largeboss · 发表于 2011-7-28 09:00:11

mark

hiteee · 发表于 2011-8-3 15:35:28

回复【楼主位】designlife
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模电的东西实践经验很重要

caviar · 发表于 2011-8-3 21:47:38

mark

mamin506 · 发表于 2011-8-6 16:10:22

很好的资料呢。mark

292580156 · 发表于 2011-8-14 19:54:35

mark

Garbage614 · 发表于 2011-8-29 09:46:53

谢谢lz了辛苦~

cjj02092011 · 发表于 2011-9-2 17:03:15

谢谢，lz辛苦了！

lovemango · 发表于 2011-9-7 22:15:41

果然是天书啊但是值得学习顶了

fangyangwa123 · 发表于 2011-10-11 22:53:46

向高手们学习学习我也想学学做一个

kupica · 发表于 2011-10-11 23:07:49

wpnx · 发表于 2011-10-17 08:56:25

得好好研究研究！

yoko · 发表于 2011-10-17 13:36:13

值得研究

lxx_sea_sky · 发表于 2011-10-17 15:21:56

一次没看懂，等基础扎实了再看

fskjhm · 发表于 2011-10-17 16:14:49

学习卡尔曼滤波

huanxin1456 · 发表于 2011-10-17 21:25:56

alex977 · 发表于 2011-10-19 23:28:18

看不懂，还是支持，希望以后可以看懂。。。。

yufengzheze · 发表于 2011-10-24 19:39:57

楼主太强大了，非常感谢

by19901114 · 发表于 2011-11-3 10:47:17

辛苦了

aiqing_shu · 发表于 2011-11-28 00:43:55

可以的

Uplate · 发表于 2011-11-28 16:01:24

mark

Jaycn · 发表于 2011-11-30 11:02:09

不错的资料，顶了···

hitor · 发表于 2011-12-5 00:08:42

mark

fshunj · 发表于 2011-12-5 00:14:38

标记

646031336 · 发表于 2011-12-8 14:10:35

正在学习中。。。

newhand1991 · 发表于 2011-12-19 19:25:48

说的太好了~~~~

hdtjpu · 发表于 2011-12-20 19:48:03

好吧看不懂先mark之

lukyers · 发表于 2011-12-20 23:16:33

mark

panyoufu · 发表于 2012-1-4 09:20:40

看了之后……好晕。

wanstrive · 发表于 2012-2-4 01:17:22

我的车出现了抖动问题。。。

fancan · 发表于 2012-2-12 23:07:23

mark

snfxzq · 发表于 2012-2-13 11:00:40

请问：能帮我吗？QQ：389362895

xuav · 发表于 2012-2-13 11:24:25

高人啊~
学习下

kang732816702 · 发表于 2012-2-24 14:59:08

mark 也正在研究平衡车，希望高手不吝赐教

TDCQ7443 · 发表于 2012-2-25 20:40:59

lz好人，正要学习它

inspiring · 发表于 2012-2-26 16:38:15

mark it

thxl_kis · 发表于 2012-3-27 23:46:49

MARK
学习了

416369123 · 发表于 2012-3-27 23:48:01

收藏了哈

51yyaayya · 发表于 2012-4-6 13:53:11

用通俗的实例讲解高深的理论，谢谢楼主的讲解，对卡尔曼滤波有了初步的了解！
顺便留下记号，慢慢消化！

nongxiaoming · 发表于 2012-4-6 14:36:38

不错，看得不是很懂

wujohn · 发表于 2012-4-6 15:24:38

我的kalman滤波后的效果无法直观观察，求个上位机软件，讲数据图像化，或者其他用什么方法可以实现？

newhand1991 · 发表于 2012-6-19 01:05:08

呼呼有word文档了都、、、

reAper07 · 发表于 2012-6-20 09:41:37

天书。。。
mark

yyoung · 发表于 2012-6-21 01:23:06

········mark

pll19840511 · 发表于 2012-6-21 13:25:44

MARK ,学习中

kxm2008 · 发表于 2012-7-4 14:01:54

果然是天书

轩仔 · 发表于 2012-7-4 19:24:32

毕业设计想做两轮的自平衡车

GNMXD · 发表于 2012-8-6 17:15:26

看看。。。

wicy001 · 发表于 2012-8-6 20:35:46

卡尔曼滤波通俗讲解，mark

wanwan-mcu · 发表于 2012-8-7 09:25:42

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

maomeijian · 发表于 2012-9-3 16:41:34

mark。。。

xiao6ye · 发表于 2012-9-4 08:27:31

mark 留待以后研究~

akwkevin2011 · 发表于 2012-9-4 08:37:34

MARK!!!!!!!!!!!!!!

sdlibin007 · 发表于 2012-9-10 17:09:04

小剑八 · 发表于 2012-10-8 18:38:40

在学习。。。。

betbet · 发表于 2012-10-11 22:39:37

MARK, 有空再来看

lxliang09 · 发表于 2012-10-14 15:43:11

mark

九元 · 发表于 2012-12-6 10:12:02

mark

Eve昔枫 · 发表于 2012-12-7 19:29:24

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

kxm2008 · 发表于 2012-12-8 20:52:44

好好研究一下

技术平原 · 发表于 2014-6-17 03:23:24

感谢分享

viq505 · 发表于 2014-6-18 08:49:50

收藏，以后用空慢慢看

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